Question

設(shè)a，b，c，d∈R，則條件甲：ac=2（b+d）是條件乙：方程x²+ax+b=0與方程x²+cx+d=0中至少有一個(gè)有實(shí)根的（　�。�

• A、充分而不必要條件
• B、必要而不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：由于直接判斷難度較大，故我們可以先判斷非乙?非甲的真假，再判斷非甲?非乙的真假，判斷出命題非乙是非甲的什么條件，再利用互為逆否的命題真假性相同得到答案．

解答：解：若方程x²+ax+b=0與方程x²+cx+d=0中均無(wú)實(shí)根
則a²-4b＜0且c²-4d＜0
則

a2+c2

2

＜2(b+d)
即ac＜2（b+d）
此時(shí)ac≠2（b+d）
故非乙?非甲是真命題，
但ac≠2（b+d）時(shí)，ac＜2（b+d）不一定成立，
故方程x²+ax+b=0與方程x²+cx+d=0中均無(wú)根不一定成立
故非甲?非乙是假命題，
故非乙是非甲的充分不必要條件
根據(jù)互為逆否命題真假性相同，我們可得：
條件甲：ac=2（b+d）是條件乙：方程x²+ax+b=0與方程x²+cx+d=0中至少有一個(gè)有實(shí)根的充分而不必要條件
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，其中利用“正難則反”的原則，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題真假的判斷是解答的關(guān)鍵．