Question

12．函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的圖象的一部分如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（x）+f（x+2）的最大值與最小值及相應的x的值，并求其單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由函數圖象的頂點的縱坐標求出A，由周期為π可解ω，把點（1，2）代入可解φ的值，即可求得函數f（x）的解析式；
（2）由（1）可求得y=f（x）+f（x+2）=2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$x．由2k$π-\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z解得單調遞增區(qū)間，從而可求函數y=f（x）+f（x+2）的最大值與最小值及相應的x的值．

解答 解：（1）由函數圖象的頂點的縱坐標求出A=2，由周期為8可解ω=$\frac{π}{4}$，
故f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ）．
把點（1，2）代入y=Asin（ωx+φ）可得，2=2sin（$\frac{π}{4}$+φ），
解得sin（$\frac{π}{4}$+φ）=1，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
故φ=$\frac{π}{4}$，
故f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）∵y=f（x）+f（x+2）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）+2sin[$\frac{π}{4}$（x+2）+$\frac{π}{4}$]=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）-2cos（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$x．
∴由2k$π-\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得單調遞增區(qū)間為：[8k-2，8k+2]，k∈Z．
∴當x=8k-2，k∈Z時，y=f（x）+f（x+2）的最小值為-2$\sqrt{2}$．當x=8k+2，k∈Z時，y=f（x）+f（x+2）的最大值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數的圖象和性質，屬于基本知識的考查．