Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，直線與曲線切于點且與曲線切于點.

（1）求a，b的值和直線的方程；

（2）證明：除切點外，曲線、位于直線的兩側(cè).

Answer 1

（1）a＝b＝1，直線l方程為y＝x＋1；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，同時考查考生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力. 第一問，先求出f(x)、g(x)，由題意可求出、、、，所以可得到的切線方程和的切線方程，而這兩個切線是同一切線，即可得到a、b的值，即得到切線的方程；第二問，除切點外，曲線C1，C2位于直線l的兩側(cè)，所以只需證明，且即可，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進行驗證即可.

試題解析：（Ⅰ）f(x)＝aex＋2x，g(x)＝cosx＋b，

f(0)＝a，f(0)＝a，，，

曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線為y＝ax＋a，

曲線y＝g(x)在點(，))處的切線為y＝b(x－)＋1＋b，即y＝bx＋1．

依題意，有a＝b＝1，直線l方程為y＝x＋1． …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sinx＋x． …5分

設(shè)F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1，則F(x)＝ex＋2x－1，

當(dāng)x∈(－∞，0)時，F(xiàn)(x)＜F(0)＝0；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時，F(xiàn)(x)＞F(0)＝0．

F(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增，

故F(x)≥F(0)＝0． …8分

設(shè)G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sinx，則G(x)≥0，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝2k＋（k∈Z）時等號成立． …10分

綜上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且兩個等號不同時成立，因此f(x)＞g(x)．

所以：除切點外，曲線C1，C2位于直線l的兩側(cè)． …12分

考點：導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.