Question

若函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+m在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（

A

2

）=1，a=

6

2

c，求sinB．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：解三角形

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m+1，解2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）由已知易得f（x）=2sin（2x+

π

6

），進而可得A=

2π

3

，C=

π

4

，可得sinB=sin（A+C）=sin（

2π

3

+

π

4

），由兩角和的正弦公式可得．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∵f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2，∴m=-1
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），又∵f（

A

2

）=1，
∴2sin（A+

π

6

）=1，∴A=

2π

3

，
∵a=

6

2

c，∴sinA=

6

2

sinC，
∴sinC=

π

2

，∴C=

π

4

∴sinB=sin（A+C）=sin（

2π

3

+

π

4

）
=

3

2

×

2

2

-

1

2

×

2

2

=

6 - 2

4

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，涉及正余弦定理和三角函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．