Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值．
（2）若f（1）＜0，試判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在區(qū)間[1，∞）上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，直接由f（0）=0求得k的值；
（2）把（1）求得的k的值代入函數(shù)解析式，判斷其單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（3）由f（1）=$\frac{3}{2}$，求得a的值，化簡(jiǎn)函數(shù)g（x），令t=f（x）=2^x-2^-x換元，利用函數(shù)的單調(diào)性求得t的范圍，然后對(duì)m分類求得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2，
經(jīng)檢驗(yàn)知：k=2滿足題意；
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-a^-1＜0，
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
設(shè)m＜n，則f（m）-f（n）=a^m-a^-m-（aⁿ-a^-n）
=（a^m-aⁿ）+（a^-n-a^-m）=（a^m-aⁿ）（1+$\frac{1}{{a}^{m}{a}^{n}}$），
由于m＜n，則a^m＞aⁿ＞0，即a^m-aⁿ＞0，
f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
則當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞減．
（3）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，
∴a-a^-1=$\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
∴g（x）=a^2x+a^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²（t≥$\frac{3}{2}$），
若m≥$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=m時(shí)，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2；
若m＜$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-2，解得m=$\frac{25}{12}$＞$\frac{3}{2}$，故舍去．
綜上可知m=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．