Question

19．若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n=$\frac{1}{n！}$，求證：其前n項(xiàng)和S_n＜e-1．

Answer 1

分析 我們首先知道：e=$\sum_{i=0}^{+∞}\frac{1}{i!}$．設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n的前n項(xiàng)和為S_n，?n＞m，S_n=S_m+$\frac{1}{（m+1）!}$+$\frac{1}{（m+2）!}$+…+$\frac{1}{n!}$＜S_m+$\frac{1}{（m+1）!}$+$\frac{1}{（m+2）!}$$[1+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{（m+1）^{2}}+…+\frac{1}{（m+1）^{n-m}}]$，可得?n＞m，S_m＜S_n＜S_m+$\frac{1}{m•m!}$，取極限即可得出．

解答 證明：我們首先知道：e=$\sum_{i=0}^{+∞}\frac{1}{i!}$．設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n的前n項(xiàng)和為S_n，
下面給出證明：?n＞m，S_n=S_m+$\frac{1}{（m+1）!}$+$\frac{1}{（m+2）!}$+…+$\frac{1}{n!}$＜S_m+$\frac{1}{（m+1）!}$+$\frac{1}{（m+2）!}$$[1+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{（m+1）^{2}}+…+\frac{1}{（m+1）^{n-m}}]$
＜S_m+$\frac{1}{（m+1）!}•\frac{1}{1-\frac{1}{m+1}}$=S_m+$\frac{1}{m•m!}$，
∴?n＞m，S_m＜S_n＜S_m+$\frac{1}{m•m!}$，
當(dāng)m→+∞時(shí)，：e=$\sum_{i=0}^{+∞}\frac{1}{i!}$．
∴其前n項(xiàng)和S_n＜e-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了e的單調(diào)性、“放縮法”、數(shù)列極限的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．