Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和一次函數(shù)g（x）=-bx，其中a，b，c∈R且滿足a＞b＞c，f（1）=0．
（1）證明：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象交于不同的兩點(diǎn)A，B；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值為9，最大值為21，試求a，b的值；
（3）求線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）證明函數(shù)f（x）與g（x）的圖象交于不同的兩點(diǎn)A，B，只需證明：ax²+2bx+c=0，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
（2）函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2bx+c的對稱軸為x=-

b

a

，可以證明y=F（x）在[2，3]上為增函數(shù)，利用函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值為9，最大值為21，可求a=2，b=1；
（3）設(shè)方程F（x）=ax²+2bx+c=0的兩根為x₁，x₂，則

x1+x2=- 2b a x1x2= c a

，從而|A1B1|2=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4[(

c

a

+

1

2

)2+

3

4

]，確定對稱軸的范圍及變量的區(qū)間，即可求得線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍．

解答：（1）證明：由g（x）=-bx與f（x）=ax²+bx+c得ax²+2bx+c=0，
∵f（1）=a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
從而△=b²-4ac＞0，
即函數(shù)f（x）與g（x）的圖象交于不同的兩點(diǎn)A，B；…（3分）
（2）解：∵c=-a-b，a＞b＞c，
∴a＞c=-a-b
∴2a＞-b
∴-

b

a

＜2
∵函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2bx+c的對稱軸為x=-

b

a

，
∴y=F（x）在[2，3]上為增函數(shù)，…（6分）
∵函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值為9，最大值為21
∴F（2）=3a+3b=9，F(xiàn)（3）=8a+5b=21，
∴a=2，b=1；…（8分）
（3）解：設(shè)方程F（x）=ax²+2bx+c=0的兩根為x₁，x₂，∴

x1+x2=- 2b a x1x2= c a

|A1B1|2=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=4[(

c

a

+

1

2

)2+

3

4

]，…（9分）
∵a＞b＞c，b=-a-c
∴a＞-a-c＞c
∴

c

a

∈(-2，-

1

2

)，…（10分）
設(shè)|A1B1|2=h(

c

a

)=4[(

c

a

+

1

2

)2+

3

4

]，則它的對稱軸為x=-

1

2

，h(

c

a

)在

c

a

∈(-2，-

1

2

)上是減函數(shù)，
∴|A1B1|2∈(3，12)，得|A1B1|∈(

3

，2

3

)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查圖象的交點(diǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)最值的研究，解題時(shí)確定函數(shù)的對稱軸及變量的區(qū)間是關(guān)鍵．