己知函數(shù)f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若x∈[-
π
3
,
π
4
]
求函數(shù)f(x)的最大值和最小值,并寫出相應(yīng)x的值.
分析:(1)利用倍角公式對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡,再由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,求出函數(shù)的遞增區(qū)間;
(2)由x∈[-
π
3
,
π
4
]
求出2x-
π
4
的范圍,進(jìn)而求出正弦函數(shù)值的范圍,再由解析式求出函數(shù)最值以及x的值.
解答:解:(1)由題意知,f(x)=2sinxcosx+sin2x-cos2x,
∴f(x)=sin2x-cos2x=
2
sin(2x-
π
4
)

2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
得,kπ-
π
8
≤x≤kπ+
8

∴函數(shù)的遞增區(qū)間為[kπ-
π
8
,kπ+
8
]
(k∈Z)
(2)∵x∈[-
π
3
,
π
4
]

2x-
π
4
∈[-
11π
12
,
π
4
]

2
sin(-
π
2
)≤y≤
2
sin
π
4

-
2
≤y≤1

∴函數(shù)的最大值為:1.此時2x-
π
4
=
π
4
,即x=
π
4

函數(shù)的最小值為:-
2
,此時x=-
π
8
點評:本題的考點是正弦函數(shù)的單調(diào)性和求定區(qū)間上的值域,需要對解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕喅烧倚偷暮瘮?shù),再利用整體思想求解.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•綿陽一模)己知函數(shù)f(x)=
a
x
-1(其中a是不為0的實數(shù)),g(x)=lnx,設(shè)F(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)判斷函數(shù)F(x)在(0,3]上的單調(diào)性;
(Ⅱ)已知s,t為正實數(shù),求證:ttex≥stet(其中e為自然對數(shù)的底數(shù));
(Ⅲ)是否存在實數(shù)m,使得函數(shù)y=f(
2a
x2+1
)+2m的圖象與函數(shù)y=g(x2+1)的圖象恰好有四個不同的交點?若存在,求出m的取值范圍,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

己知函數(shù)f(x)=數(shù)學(xué)公式-1(其中a是不為0的實數(shù)),g(x)=lnx,設(shè)F(x)=f(x)+g(x).
(I )判斷函數(shù)F(x)在(0,3]上的單調(diào)性;
(II)已知s,t為正實數(shù),求證:ttex≥stet(其中e為自然對數(shù)的底數(shù));
(III)是否存在實數(shù)m,使得函數(shù)y=f(數(shù)學(xué)公式)+2m的圖象與函數(shù)y=g(x2+1)的圖象恰好有四個不同的交點?若存在,求出m的取值范圍,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年四川省綿陽市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

己知函數(shù)f(x)=-1(其中a是不為0的實數(shù)),g(x)=lnx,設(shè)F(x)=f(x)+g(x).
(I )判斷函數(shù)F(x)在(0,3]上的單調(diào)性;
(II)已知s,t為正實數(shù),求證:ttex≥stet(其中e為自然對數(shù)的底數(shù));
(III)是否存在實數(shù)m,使得函數(shù)y=f()+2m的圖象與函數(shù)y=g(x2+1)的圖象恰好有四個不同的交點?若存在,求出m的取值范圍,若不存在,說明理由.

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