【題目】已知數(shù)列{an}是首項為a1= ,公比q= 的等比數(shù)列,設bn+2=3 an(n∈N*),數(shù)列{cn}滿足cn=anbn
(1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)若cn m2+m﹣1對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)證明:由題意得,an= = ,

又bn+2=3 an(n∈N*),則bn+2=3 =3n,

所以bn=3n﹣2,即bn+1﹣bn=3,且b1=1,

所以{bn}是為1為首項,3為公差的等差數(shù)列


(2)證明:解:由(1)得,an= ,bn=3n﹣2

所以cn=anbn=

則Sn= ①,

Sn= ②,

① ﹣②得, Sn=

=

= ,

所以Sn=


(3)證明:由(2)得,cn= ,

cn+1﹣cn= =

所以當n=1時,c2=c1= ,

當n≥2時,c2=c1>c3>c4>c5>…>cn,

則當n=1或2時,cn的最大值是 ,

因為cn m2+m﹣1對一切正整數(shù)n恒成立,

所以 m2+m﹣1,即m2+4m﹣5≥0,解得m≥1或m≤﹣5,

故實數(shù)m的取值范圍是m≥1或m≤﹣5


【解析】(1)根據題意和等比數(shù)列的通項公式求出an , 再由對數(shù)的運算性質求出bn , 根據等差數(shù)列的定義進行證明;(2)由(1)和題意求出數(shù)列{cn}的通項公式,利用錯位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項和;(3)先化簡cn+1﹣cn , 再根據結果的符號與n的關系,判斷出數(shù)列{cn}的最大項,將恒成立問題轉化為具體的不等式,再求出實數(shù)m的取值范圍.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】種子發(fā)芽率與晝夜溫差有關.某研究性學習小組對此進行研究,他們分別記錄了3月12日至3月16日的晝夜溫差與每天100顆某種種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),如下表:

(I)從3月12日至3月16日中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為c,d,求事件“c,d均不小于25”的概率;

(II)請根據3月13日至3月15日的三組數(shù)據,求出y關于x的線性回歸方程;

(III)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據與實際數(shù)據誤差均不超過2顆,則認為回歸方程是可靠的,試用3月12日與16日的兩組數(shù)據檢驗,(II)中的回歸方程是否可靠?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】從某企業(yè)生產的某中產品中抽取100件,測量這些產品的質量指標值.由測量結果得到如圖所示的頻率分布直方圖,質量指標值落在區(qū)間[55,65),[65,75),[75,85]內的頻率之比為4:2:1.

(1)求這些產品質量指標落在區(qū)間[75,85]內的概率;
(2)用分層抽樣的方法在區(qū)間[45,75)內抽取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任意抽取2件產品,求這2件產品都在區(qū)間[45,65)內的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+6.
(1)當a=5時,解不等式f(x)<0;
(2)若不等式f(x)>0的解集為R,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若不等式a|x|>x2 對任意x∈[﹣1,1]都成立,則實數(shù)a的取值范圍是(
A.( ,1)∪(1,+∞)
B.(0, )∪(1,+∞)??
C.( ,1)∪(1,2)
D.(0, )∪(1,2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】一個多面體的直觀圖和三視圖如圖,M是A1B的中點,N是棱B1C1上的任意一點(含頂點).

①當點N是棱B1C1的中點時,MN∥平面ACC1A1;
②MN⊥A1C;
③三棱錐N﹣A1BC的體積為VNA BC= a3;
④點M是該多面體外接球的球心.
其中正確的是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,△PAD與正方形ABCD共用一邊AD,平面PAD⊥平面ABCD,其中PA=PD,AB=2,點E是棱PA的中點.

(1)求證:PC∥平面BDE;
(2)若直線PA與平面ABCD所成角為60°,求點A到平面BDE的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】是空間兩條直線, 是空間兩個平面,則下列命題中不正確的是( )

A. 時,“”是“”的充要條件

B. 時,“”是“”的充分不必要條件

C. 時,“”是“”的必要不充分條件

D. 時,“”是“”的充分不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知單調遞增的等比數(shù)列滿足,且 的等差中項.

(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;

(Ⅱ)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設,問是否存在實數(shù)使得數(shù)列)是單調遞增數(shù)列?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案