Question

【題目】已知圓與軸相切于點，且被軸所截得的弦長為，圓心在第一象限.

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）若點是直線上的動點，過作圓的切線，切點為，當△的面積最小時，求切線的方程.

Answer 1

【答案】（I）；（II）或.

【解析】

（Ⅰ）由題意設圓心坐標為（a，1），則半徑為r=a（a＞0），再由圓被x軸所截得的弦長為2，利用垂徑定理求得a=2，則圓C的方程可求；

（Ⅱ）P為直線l：2x+y+5=0上的動點，過P作圓C的切線，切點為B，可知，要使△PBC的面積最小，則|PB|最小，也就是|PC|最小，此時CP⊥l，求出CP所在直線方程，與直線l聯(lián)立解得P（﹣2，﹣1），設切線方程為y+1=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1=0，再由圓心到切線的距離等于半徑求得k，則切線PB的方程可求．

解：（Ⅰ）依題意，可設圓心的坐標為，其中，圓的半徑為，

因為圓被軸所截得的弦長為，

又點到軸的距離為，

則，

解得.

所以圓的方程為.

（Ⅱ）因為△的面積

.

故當最小時，△的面積最小.

由于點是直線上的動點，

則當時，最小.

由于直線的斜率為，則直線的斜率為.

直線的方程為，即.

由解得

所以點的坐標為.

設直線的方程為，即.

由于直線是圓的切線，

則點到直線的距離等于圓的半徑，即.

解得或.

所以切線的方程為或.

另法：（Ⅰ）依題意，可設圓心的坐標為，其中，圓的半徑為，

則圓的方程為.

令，得

因為圓被軸所截得的弦長為，

則，

解得.所以圓的方程為

（Ⅱ）因為△的面積

.

故當最小時，△的面積最小.

由于點是直線上的動點，設點的坐標為，

則

.

當時，取得最小值，此時點的坐標為.

設直線的方程為，即.

由于直線是圓的切線，

則點到直線的距離等于圓的半徑，即.

解得或.

所以切線的方程為或.