【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB1=3，AC=BC=2，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB1上一點(diǎn)，且 = ．
（1）求證：平面CDF⊥平面A1C1E；
（2）求二面角C1﹣CD﹣F的余弦值．

【答案】
（1）證明：以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

∵BB1=3，AC=BC=2，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)， = ．

∴C（0，0，0），D（1，1，0），F(xiàn)（0，2， ），E（0，1，0），A1（2，0，3），C1（0，0，3）．

， ， ．

設(shè)平面CDF的一個(gè)法向量為 ，

則 ，取y=﹣1，得 ；

再平面A1C1E的一個(gè)法向量為 ，

則 ，取z=1，得 ．

∵ ，

∴ ，則平面CDF⊥平面A1C1E；


（2）解：由（1）知，平面CDF的一個(gè)法向量 ，

又平面C1CD的一個(gè)法向量 ，

∴cos＜ ＞= = ，

∵二面角C1﹣CD﹣F為銳角，

∴二面角C1﹣CD﹣F的余弦值為 ．


【解析】（1）以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，再由已知求出C，D，F(xiàn)，E，A1 ， C1的坐標(biāo)，得到平面CDF與平面A1C1E的一個(gè)法向量，由兩法向量垂直可得平面CDF⊥平面A1C1E；（2）由（1）知，平面CDF的一個(gè)法向量 ，又平面C1CD的一個(gè)法向量 ，由兩法向量所成角的余弦值求得二面角C1﹣CD﹣F的大�。�
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能得出正確答案．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì)，僅在北京地區(qū)每天就有500萬(wàn)單快遞等待派送，近5萬(wàn)多名快遞員奔跑在一線，快遞網(wǎng)點(diǎn)人員流動(dòng)性也較強(qiáng)，各快遞公司需要經(jīng)常招聘快遞員，保證業(yè)務(wù)的正常開展.下面是50天內(nèi)甲、乙兩家快遞公司的快遞員的每天送貨單數(shù)統(tǒng)計(jì)表：

送貨單數(shù)

30

40

50

60

天數(shù)

甲

10

10

20

10

乙

5

15

25

5

已知這兩家快遞公司的快遞員的日工資方案分別為：甲公司規(guī)定底薪元，每單抽成元；乙公司規(guī)定底薪元，每日前單無(wú)抽成，超過單的部分每單抽成元．

（1）分別求甲、乙快遞公司的快遞員的日工資（單位：元）與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若將頻率視為概率，回答下列問題：

①記甲快遞公司的快遞員的日工資為（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②小趙擬到甲、乙兩家快遞公司中的一家應(yīng)聘快遞員的工作，如果僅從日收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)M（﹣3，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)N在直線PQ上，且滿足 ． （Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn) 做直線l與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E（x0 ， 0），使得△AEB是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生 （I）分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率pi（i=1，2，3）；
（II）甲乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編程寫出程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計(jì)記錄輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻數(shù)，以下是甲乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)．
甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)圖（部分）

運(yùn)行次數(shù)n

輸出y的值為1的頻數(shù)

輸出y的值為2的頻數(shù)

輸出y的值為3的頻數(shù)

30

14

6

10

…

…

…

…

2100

1027

376

697

乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)圖（部分）

運(yùn)行次數(shù)n

輸出y的值為1的頻數(shù)

輸出y的值為2的頻數(shù)

輸出y的值為3的頻數(shù)

30

12

11

7

…

…

…

…

2100

1051

696

353

當(dāng)n=2100時(shí)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻率（用分?jǐn)?shù)表示），并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合要求的可能系較大；
（III）將按程序擺圖正確編寫的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}和正項(xiàng)等差數(shù)列{bn}中，已知a1 ， a2017的等比中項(xiàng)與b1 ， b2017的等差中項(xiàng)相等，且 + ≤1，當(dāng)a1009取得最小值時(shí)，等差數(shù)列{bn}的公差d的取值集合為（ ）
A.{d|d≥ }
B.{d|0＜d＜ }
C.{ }
D.{d|d≥ }

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給定命題p：“若a2017＞﹣1，則a＞﹣1”；命題q：“x∈R，x2tanx2＞0”，則下列命題中，真命題的是（ ）
A.p∨q
B.（￢p）∨q
C.（￢p）∧q
D.（￢p）∧（￢q）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ﹣2sinθ．
（1）求C的參數(shù)方程；
（2）若點(diǎn)A在圓C上，點(diǎn)B（3，0），求AB中點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離平方的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是求樣本x1、x2、…x10平均數(shù) 的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容為（ ）
A.S=S+xn
B.S=S+
C.S=S+n
D.S=S+

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示的多面體中，ABCD是平行四邊形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠ABD= ，AB=2AD．
（Ⅰ）求證：平面BDEF⊥平面ADE；
（Ⅱ）若ED=BD，求AF與平面AEC所成角的正弦值．

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