Question

【題目】已知點M（﹣3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點N在直線PQ上，且滿足 ． （Ⅰ）當點P在y軸上移動時，求點N的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點 做直線l與軌跡C交于A，B兩點，若在x軸上存在一點E（x0 ， 0），使得△AEB是以點E為直角頂點的直角三角形，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）設N（x，y），∵ ，∴P（0， ）， ∴ =（3， ）， =（x，﹣ ），
∴ =3x﹣ =0，即y2=4x．
∴點N的軌跡C的方程是y2=4x．
（II）直線l的方程為y=k（x+ ）（k≠0），
聯立方程組 ，消元得ky2﹣4y+2k=0，
∴△=16﹣8k2＞0，解得﹣ ＜k＜0或0＜k＜ ．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則y1+y2= ，y1y2=2，
∴|AB|= = ，
設AB的中點為F，∵x1+x2= = ﹣1，∴F（ ﹣ ， ），
∵x軸上存在一點E（x0 ， 0），使得△AEB是以點E為直角頂點的直角三角形，
∴F到x軸的距離d≤|EF|= |AB|，
即 ≤ ，化簡得k4+k2﹣2≤0，解得0＜k2≤1．
又﹣ ＜k＜0或0＜k＜ ．
∴直線l的斜率k的范圍是[﹣1，0）∪（0，1]．
【解析】（I）設N（x，y），求出P點坐標，根據 =0列方程化簡即可；（II）聯立方程組消元，利用根與系數的關系和弦長公式計算|AB|及AB的中點F的坐標，令F到x軸的距離d≤ |AB|，結合判別式△＞0列不等式組解出k的范圍．