Question

函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，
∴
∴y=f（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，a），
y=g（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（a，0）
由題意得f′（0）=g′（a），即，
又∵a＞0，
∴a=1，
∴g（x）=lnx
（2）由題意g（x）≠0，
∴x＞0，x≠1
當(dāng)x∈（1，+∞）時，
令，
∴
令h（x）=，
∴
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，
∴h（x）單調(diào)遞增．
∴h（x）＞h（1）=0
由在x∈（1，+∞）上恒成立，得m≤φ（1）=1
當(dāng)x∈（0，1）時，
可得，
∴φ（x）單調(diào)遞增．
由在x∈（0，1）上恒成立，
得m≥φ（1）=1，
綜上，可知m=1；
分析：（1）已知函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，對其進(jìn)行求導(dǎo)，然后分別求出f（x）與g（x）與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)f′（0）=g′（a），求出a值，從而求解；
（2）由題意g（x）≠0，可得x＞0，x≠1，分兩種情況進(jìn)行求解①當(dāng)x∈（1，+∞）時；②當(dāng)x∈（0，1）時；利用導(dǎo)數(shù)的研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求解；
點(diǎn)評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化，是一道綜合性比較強(qiáng)的題，注意分類討論思想的應(yīng)用，此題是一道中檔題；