Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）過左焦點(diǎn)F且斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出左焦點(diǎn)F、左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，由，得出a和c的關(guān)系，從而求出離心率的值．
（2）點(diǎn)斜式設(shè)出直線AB的方程，由離心率的值設(shè)出橢圓的方程，將這兩個方程聯(lián)立方程組，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，由解出橢圓方程中的待定系數(shù)，從而求出橢圓的方程．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為．
由，有．（3分）
則有，即，∴．（6分）
（2）設(shè)直線AB的方程為，直線AB與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（I）可得a²=4c²，b²=3c²．
由 消去y，得11x²+16cx-4c²=0．（9分）
故 ． 
∵，
且y₁•y₂=2（x₁+c）（x₂+c）=2x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²．
∴3x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²=-2．（11分）
即，∴c²=1．則a²=4，b²=2．
橢圓的方程為．（13分）
點(diǎn)評：本題考查直線方程、橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．