如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）設(shè)PD的中點為M，求證：AM∥平面PBC；
（2）求PA與平面PBC所成角的正弦值．
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的一個法向量
n
=(1，1，1)，證明
AM
⊥
n
，即可證得AM∥平面PBC；
（2）求出
PA
=(1，0，-2)，利用向量夾角公式，即可求得PA與平面PBC所成角的正弦值．
解答：（1）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=CD=2AD=2，BC=
2
a，則A（1，0，0），B（a，2-a，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，0，1）．    …（3分）
設(shè)平面PBC的一個法向量為
n
=(x，y，z)，則
n
•
PB
=0，
n
•
PC
=0
∴ax+y（2-a）-2z=0，2y-2z=0
令z=1得
n
=(1，1，1)．         …（7分）
而
AM
=(-1，0，1)，所以
AM
•
n
=0，即
AM
⊥
n
，
又AM?平面PBC
故AM∥平面PBC；．…（9分）
（2）解：
PA
=(1，0，-2)，設(shè)PA與平面PBC所成角為α，
由直線與平面所成角的向量公式有sinα=
|
PA
•
n
|
|
PA
||
n
|
=
1
5
×
3
=
15
15
．　　　　　　　　　　　　　　　　　…（12分）
點評：本題考查線面平行，考查線面角，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面的法向量，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划�(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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