Question

已知數列{a_n}是正數組成的數列，其前n項和為S_n，對于一切n∈N^*均有a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項.

（1）計算a₁,a₂,a₃,并由此猜想{a_n}的通項公式a_n；

（2）用數學歸納法證明（1）中你的猜想.

Answer 1

思路分析：通過計算a₁,a₂,a₃,探索a_n與n的關系，猜想a_n的通項，并運用數學歸納法證明.

（1）解：由得S_n=可求得a₁=2，a₂=6,a₃=10,

由此猜想{a_n}的通項公式a_n=4n-2(n∈N₊).

（2）證明：(Ⅰ)當n=1時，a₁=2，等式成立；

(Ⅱ)假設當n=k時，等式成立，即a_k=4k-2,

∴a_k+1=S_k+1-S_k=,

∴(a_k+1+a_k)(a_k+1-a_k-4)=0.

又a_k+1+a_k≠0,

∴a_k+1-a₄-4=0,

∴a_k+1=a_k+4=4k-2+4=4(k+1)-2,

∴當n=k+1時,等式也成立.

由(Ⅰ)(Ⅱ)可得a_n=4n-2(n∈N₊)成立.