Question

20．自主招生，是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié)，通過高考自主招生筆試和面試之后，可以得到相應(yīng)的高考降分政策；某高中高一學(xué)生共有1000人，其中城填初中畢業(yè)生750名（稱為“城填生“），農(nóng)村初中畢業(yè)生250人（稱為“農(nóng)村生“）；為了摸清學(xué)生是否愿意參加自主招生，以便安排自主招生培訓(xùn)，擬采用分層抽樣的方法抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查；
（1）試完成下列2×2聯(lián)表，并分析是否有95%以上的把握說“是否愿意參加自主招生“與生源有關(guān)．

	愿意參加	不愿意參加	合計(jì)
城填生	50	25	75
農(nóng)村生	10	15	25
合計(jì)	60	40	100

（2）現(xiàn)對(duì)愿意參加自主招生的同學(xué)組織摸底考試，考試題共有5道題，每題20分，對(duì)于這5道題，考生“高富帥”完全會(huì)答的有3道，不完全會(huì)的有2道，不完全會(huì)的每道題她得分S的概率滿足：SKIPIF 1＜0，假設(shè)解答各題之間沒有影響．
①對(duì)于一道不完全會(huì)的題，求“高富帥”得分的均值E（s）；
②試求“高富帥”在本次摸底考試中總得分的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意填寫2×2列聯(lián)表，計(jì)算K²，對(duì)照數(shù)表得出結(jié)論；
（2）①由S的所有可能取值計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值即可；
②計(jì)算對(duì)應(yīng)的分布列與期望值即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意填寫2×2列聯(lián)表如下：

	利用時(shí)間充分	利用時(shí)間不充分	總計(jì)
走讀生	50	25	75
住宿生	10	15	25
總計(jì)	60	40	100

計(jì)算K²=$\frac{100×（50×15-25×10）2}{75×25×40×60}$≈5.556，
由于K²＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“是否愿意參加自主招生“與生源有關(guān)；…（6分）
（2）①S的所有可能取值為6，12，18且P（S=6）=$\frac{1}{2}$，P（S=12）=$\frac{1}{3}$，P（S=18）=$\frac{1}{6}$，
E（S）=6×$\frac{1}{2}$+12×$\frac{1}{3}$+18×$\frac{1}{6}$=10，
即“高富帥”得分的均值10分…（8分）
②設(shè)不完全會(huì)的2道題的最后得分為X，總得分為Y，則Y=60+X；
X的所有可能取值為12，18，24，30，36；
P（X=12）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=18）=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=24）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{18}$，
P（X=30）=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{9}$，
P（X=36）=$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{36}$，
∴EX=12×$\frac{1}{4}$+18×$\frac{1}{3}$+24×$\frac{5}{18}$+30×$\frac{1}{9}$+36×$\frac{1}{36}$=20，
EY=60+EX=80；
∴“高富帥”在本次摸底考試中總得分的數(shù)學(xué)期望為80分；
（若考生用其它方法得到正確結(jié)果同樣賦分）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與古典概型的概率與分布列、期望問題，是綜合性題目．