Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF。

（1）證明MF是異面直線AB與PC的公垂線；
（2）若PA=3AB，求直線AC與平面EAM所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1）證明：因PA⊥底面，有PA⊥AB， 又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE， 又AM∥CD∥EF，且AM=EF， 證得AEFM是矩形，故AM⊥MF 又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD， 而MF∥AE，得MF⊥面PCD， 故MF⊥PC， 因此MF是AB與PC的公垂線。
（2）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)BE，過(guò)O作BE的垂線OH，垂足H在BE上 易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE， 又OH⊥BE，故OH//DE， 因此OH⊥面MAE 連結(jié)AH，則∠HAO是所要求的線AC與面NAE所成的角 設(shè)AB=a，則PA=3a， 因Rt△ADE~Rt△PDA，故 從而在中，sin∠HAO=。