Question

已知f（x）=

1

3

x³+x函數(shù)，則不等式f（2-x²）+f（2x+1）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為增函數(shù)，不等式f（2-x²）+f（2x+1）＞0?2x+1＞x²-2解得即可．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+x，
∴f（-x）=-

1

3

x³-x=-f（x），
∴f（x）=

1

3

x³+x是奇函數(shù)，
又∵f′（x）=x²+1＞0，
∴f（x）=

1

3

x³+x在R上是增函數(shù)，
∴f（2-x²）+f（2x+1）＞0
?f（2x+1）＞-f（2-x²）
?f（2x+1）＞（x²-2）
?2x+1＞x²-2
?x²-2x-3＜0
?（x-3）（x+1）＜0
?-1＜x＜3
∴不等式f（2-x²）+f（2x+1）＞0的解集是（-1，3）．
故答案為（-1，3）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性奇偶性的判斷及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．