Question

正四面體ABCD，棱長(zhǎng)為1米，一條蟲子從頂點(diǎn)A開始爬行，在每一頂點(diǎn)，它等可能選擇三棱之一，沿這棱到其它頂點(diǎn)，記a_n是蟲子從A開始爬行了n米回到A的概率，則a₃=    ；通項(xiàng)公式a_n=    ．（n=0，1，2，…）

Answer 1

【答案】分析：由題意可得，第二步不能走回A，所以，第二步成為關(guān)鍵，第二步分兩種情況，①回到A點(diǎn)，②不回A點(diǎn)．
若回到A，則第三步都回不到A，然后分析第二步不會(huì)到A時(shí)第三步的情況，從而求得所求事件的概率．
對(duì)于n=4，可求解，因?yàn)槿舻谌�次爬回去，則第四次就不能會(huì)到A，由此得到遞推式，最后可求出通項(xiàng)公式a_n．
解答：解：小蟲從點(diǎn)A出發(fā)，一共分3步走，假設(shè)第一步到B，則第二部有三種走法，若回到A，則第三步都回不到A，若第二部不到A，可以到C或D，到達(dá)下一個(gè)頂點(diǎn)后又有三種走法，只有一種能回到A．其它類同．
所以蟲子從A開始爬行了3米回到A的概率為a₃=；
n=4：（若第三次爬回去，則第四次就不能會(huì)到A）
．
n=5：（若第四次爬回去，則第五次就不能會(huì)到A）
=．
…
所以

=．故答案為，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，綜合考查了學(xué)生分析問題和理解問題的能力，是中檔題．