Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
 （1）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，求f（x）的解析式；
 （2）若f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x對x∈（1，2）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）得到b與a、c與a的關(guān)系，再由方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，利用判別式等于0求解a的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）把f（x）的解析式代入f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x整理，由f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x對x∈（1，2）恒成立，討論二次項(xiàng)系數(shù)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時利用“三個二次”的結(jié)合列關(guān)于a的不等式組求解．

解答：解：（1）二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3），
即ax²+（b+2）x+c＞0的解集為（1，3），
說明a＜0，方程ax²+（b+2）x+c=0的兩根為1和3．
根據(jù)韋達(dá)定理，-

b+2

a

=1+3=4，

c

a

=1×3=3．
∴b=-4a-2，c=3a．
函數(shù)化為f（x）=ax²-（4a+2）x+3a，
方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，
即ax²-（4a+2）x+9a=0有兩個相等的實(shí)根，
則△=[-（4a+2）]²-36a²=16a²+16a+4-36a²=0，
解得：a=1（舍去），或a=-

1

5

．
∴b=-4a-2=-4×(-

1

5

)-2=-

6

5

，c=3a=3×(-

1

5

)=-

3

5

．
∴f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

；
（2）由f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x對x∈（1，2）恒成立，
即-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

＞（a-1）x²-3（a+1）x對x∈（1，2）恒成立，
也就是（5a-4）x²-（15a+9）x+3＜0對x∈（1，2）恒成立，
當(dāng)5a-4=0，即a=

4

5

時，不等式化為x＞

1

7

，滿足x∈（1，2）；
當(dāng)5a-4≠0時，要使（5a-4）x²-（15a+9）x+3＜0對x∈（1，2）恒成立，
令g（x）=（5a-4）x²-（15a+9）x+3．
則

5a-4＞0 g(1)=-10a-10≤0 g(2)=-10a-31≤0

①或

5a-4＜0 15a+9 2(5a-4) ≤1 g(1)=-10a-10≤0

②或

5a-4＜0 15a+9 2(5a-4) ≥2 g(2)=-10a-31≤0

③
解①得，a＞

4

5

．
解②得，-1≤a＜

4

5

．
解③得，a∈∅．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了一元二次不等式的解法，訓(xùn)練了利用“三個二次結(jié)合”求解恒成立問題中的參數(shù)范圍問題，是中檔題．