Question

已知A、B、C為直線l上不同的三點，點O∉直線l，實數(shù)x滿足關系式x²

OA

+2x

OB

+

OC

=

0

，有下列命題：
①

OB

2-

OC

•

OA

≥0；        
②

OB

2-

OC

•

OA

＜0；
③x的值有且只有一個；      
④x的值有兩個；
⑤點B是線段AC的中點．
則正確的命題是

 

．（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：①由于存在實數(shù)x滿足關系式x²

OA

+2x

OB

+

OC

=

0

，

OC

=-x2

OA

-x

OB

，由于A、B、C為直線l上不同的三點，點O∉直線l，可得-x²-2x=1，解得x=-1，得到

OB

=

1

2

(

OA

+

OC

)，因此

OB

2-

OA

•

OC

=

1

4

(

OA

-

OC

)2≥0，正確；
；
②由①即可判斷是否正確；
③由x²

OA

+2x

OB

+

OC

=

0

，變形為

OC

=-x2

OA

-2x

OB

，利用共線定理可得-x²-2x=1，解得x；
④由③即可判斷是否正確；
⑤由③可知：

OB

=

1

2

(

OA

+

OC

)，可得點B是線段AC的中點．

解答： 解：①因為存在實數(shù)x滿足關系式x²

OA

+2x

OB

+

OC

=

0

，

OC

=-x2

OA

-x

OB

，∵A、B、C為直線l上不同的三點，點O∉直線l，∴-x²-2x=1，解得x=-1，∴

OB

=

1

2

(

OA

+

OC

)，∴

OB

2-

OA

•

OC

=

1

4

(

OC

+

OA

)2-

OA

•

OC

=

1

4

(

OA

-

OC

)2≥0，正確；
②由①可知：②不正確；
③由x²

OA

+2x

OB

+

OC

=

0

，變形為

OC

=-x2

OA

-2x

OB

，
∵A、B、C為直線l上不同的三點，點O∉直線l，∴-x²-2x=1，解得x=-1，因此③正確；
④由③可知：④不正確；
⑤由③可知：

OB

=

1

2

(

OA

+

OC

)，∴點B是線段AC的中點．正確．
綜上可知：只有①③⑤正確．
故答案為：①③⑤．

點評：本題考查了向量共線定理，屬于基礎題．