Question

5．已知把函數(shù)g（x）=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，在向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)f（x）的圖象．
（1）求f（x）的最小值及取最小值時(shí)x的集合；
（2）求f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)的值域；
（3）若φ（x）=f（-x），求φ（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的最值求得f（x）的最小值及取最小值時(shí)x的集合．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)的值域．
（3）求得φ（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{3}$），再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得該函數(shù)的增區(qū)間．

解答 解：（1）把函數(shù)g（x）=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，
得到函數(shù)f（x）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1的圖象．
故函數(shù)f（x）的最小值為-2+1=-1，此時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即 x=kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得 2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[1-$\sqrt{3}$，3]．
（3）φ（x）=f（-x）=2sin（-2x-$\frac{π}{3}$）+1=-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，求得 kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，
可得φ（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的最值、單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．