Question

15．（x²+x+y）⁵的展開式中，x⁵y²的系數(shù)為30．

Answer 1

分析 法一：利用分部相乘原理，可以得出x⁵y²的系數(shù)；
法二：利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，先確定y的次數(shù)，再確定x的次數(shù)也可．

解答 解法一：（x²+x+y）⁵可看作5個(gè)（x²+x+y）相乘，
從中選2個(gè)y，有${C}_{5}^{2}$種選法；
再從剩余的三個(gè)括號(hào)里邊選出2個(gè)x²，最后一個(gè)括號(hào)選出x，有${C}_{3}^{2}$•${C}_{1}^{1}$種選法；
∴x⁵y²的系數(shù)為${C}_{5}^{2}$•${C}_{3}^{2}$${•C}_{1}^{1}$=30；
解法二：∵（x²+x+y）⁵=[（x²+x）+y]⁵，
其展開式的通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（x²+x）^5-r•y^r，
令r=2，得（x²+x）³的通項(xiàng)公式為
${C}_{3}^{m}$•（x²）^3-m•x^m=${C}_{3}^{m}$•x^6-m，
再令6-m=5，得m=1，
∴（x²+x+y）⁵的展開式中，x⁵y²的系數(shù)為
${C}_{5}^{2}$•${C}_{3}^{1}$=30．
故答案為：30．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的靈活應(yīng)用問題，也考查了分步相乘原理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．