Question

當p₁，p₂，…，p_n均為正數(shù)時，稱為p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”、已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且其前n項的“均倒數(shù)”為，
（Ⅰ）試求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設，試判斷并說明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號；
（Ⅲ）已知，記數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，試求的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題得：a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1） ①，
a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1） ②，
兩式相減，得a_n=4n-1（n≥2）
又，解得a₁=3=4×1-1，
∴a_n=4n-1（n∈N⁺）．
（Ⅱ）∵，，
∴，即c_n+1＞c_n．
（Ⅲ）∵，
∴S_n=b₁+b₂++b_n=t³+t⁷++t^4n-1，
當t=1時，S_n=n，；
當t＞0且t≠1時，，．
綜上得，
分析：（Ⅰ）先利用條件求得a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1）和a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1），兩式作差就可求出數(shù)列{a_n}的通項公式（注意檢驗n=1是否成立）；
（Ⅱ）利用 （Ⅰ）求得的數(shù)列{a_n}的通項公式代入即可求出c_n+1-c_n再利用函數(shù)的單調(diào)性就可判斷出c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號；
（Ⅲ）利用 （Ⅰ）求得的數(shù)列{a_n}的通項公式代入即可求出數(shù)列{b_n}的通項公式，再對等比數(shù)列{b_n}分公比等于1和不等于1兩種情況分別求和即可找到的值；
點評：本題在利用新定義的條件下考查數(shù)列的通項公式以及求和公式，還有利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值的符號．是一道綜合性很強的好題．