Question

已知f（x）=|sinx|+|cosx|，試根據下列要求研究函數f（x）的性質：
（1）證明：函數f（x）是偶函數；
（2）函數f（x）是周期函數，并求出它的一個周期；
（3）寫出函數f（x）的單調區(qū)間（不必證明），并求函數f（x）的最值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的周期性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據函數奇偶的定義即可證明：函數f（x）是偶函數；
（2）根據函數周期性的定義即可證明函數f（x）是周期函數，并求出它的一個周期；
（3）求出函數的表達式，即可求出函數的單調區(qū)間和函數的最值．

解答： 解：（1）f（-x）=|cos（-x）|+|sin（-x）|=|cosx|+|sinx|=f（x），
∴f（x）是偶函數；
（2）∵f（x+

π

2

）=|sin（x+

π

2

）|+|cos（x+

π

2

）=|cosx|+|sinx|，
∴此時

π

2

是函數的一個周期．
（3）f（x）=

sin?x+cos?x，0≤x≤ π 2 sin?x-cos?x， π 2 ＜x≤π -sin?x-cos?x，π＜x≤ 3π 2 cos?x-sin?x， 3π 2 ＜x≤2π

，
作出函數f（x）的圖象可知：
函數的單調遞增區(qū)間為[

kπ

2

，

kπ

2

+

π

4

]，k∈Z，
函數的單調遞減區(qū)間為[

kπ

2

+

π

4

，

kπ

2

+

π

2

]，k∈Z，
當x∈[0，2π]時，f（x）∈[1，

2

]，
則函數的最大值

2

，最小值為1．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用條件求出函數的表達式是解決本題的關鍵．