Question

設(shè)A，B 是橢圓3x²+y²= λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1，3) 是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)

(1) 當(dāng)λ=3時，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；  
(2) 確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程．

Answer 1

解：(1)當(dāng)λ=3時，橢圓3x²+y²=3，
即
a²=3，b²=1，c=
所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
(2)依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)+3，
代入3x²+y²=λ，整理得(k²+3)x²-2k(k-3)x+(k-3)²-λ=0，    ①
設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁，x₂是方程①的兩個不同的根，
∴,且Δ=4[λ(k²+3)-3(k-3)²]>0.②
由N(1，3)是線段AB的中點(diǎn)，得
∴k(k-3)=k²+3，解得k=-1；
代入②得λ>12，
即λ的取值范圍是(12，+∞）．
于是，直線AB的方程y=-1（x-1）+3即x+y-4=0．