Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為A，△AF₁F₂為正三角形，且以AF₂為直徑的圓與直線y=

3

x+2相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△AF₁F₂是正三角形，知a=2c，由F₂（c，0），A（0，b），知以AF₂為直徑的圓的圓心為(

1

2

c， 

1

2

b)，半徑r=

1

2

a，由該圓與直線

3

x-y+2=0相切，能導(dǎo)出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由F₂（1，0），知l：y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

3+4k2

，y1+y2=k(x1+x2-2)，

PM

+

PN

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），由菱形對(duì)角線垂直，知（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，由此入手能夠推導(dǎo)出存在滿足題意的點(diǎn)P且m的取值范圍是（0，

1

4

）．

解答：解：（Ⅰ）∵△AF₁F₂是正三角形，∴a=2c，
由已知F₂（c，0），A（0，b），
∴以AF₂為直徑的圓的圓心為(

1

2

c， 

1

2

b)，半徑r=

1

2

a，
又該圓與直線

3

x-y+2=0相切，
∴

| 3 2 c- b 2 +2|

2

=

a

2

，
由a=2c，得b=

3

c，
∴a=2，c=1，b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)₂（1，0），l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，y1+y2=k(x1+x2-2)，
∴

PM

+

PN

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
由菱形對(duì)角線垂直，則(

PM

+

PN

)•

MN

=0，
∴（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
即k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
k2(

8k2

3+4k2

-2)+

8k2

3+4k2

-2m=0，
由已知條件k≠0，k∈R，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
∵

3

k2

＞0，∴0＜m＜

1

4

，
故存在滿足題意的點(diǎn)P且m的取值范圍是（0，

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．