Question

已知橢圓：的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知兩點(diǎn)及橢圓:,過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,連結(jié),試問(wèn)當(dāng)為何值時(shí),直線過(guò)橢圓的頂點(diǎn)?

(Ⅲ) 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓:于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，過(guò)作軸的垂線，垂足為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于，求證：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）連接為坐標(biāo)原點(diǎn),為右焦點(diǎn)），由題意知：橢圓的右焦點(diǎn)為因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052422161387509708/SYS201205242218408593687245_DA.files/image005.png">是的中位線，且,所以

所以，故…………2分

在中，

即,又,解得

所求橢圓的方程為．………………………4分

 (Ⅱ) 由（Ⅰ）得橢圓:

設(shè)直線的方程為并代入

整理得:

由得:   ……………………5分

設(shè)

則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:…………………6分

①當(dāng)時(shí),有,直線顯然過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn);………7分

②當(dāng)時(shí),則,直線的方程為

此時(shí)直線顯然不能過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn);

若直線過(guò)橢圓的頂點(diǎn),則即

所以,解得:(舍去)………………………8分

若直線過(guò)橢圓的頂點(diǎn),則即

所以,解得:(舍去)  ……………9分

 

綜上,當(dāng)或或時(shí), 直線過(guò)橢圓的頂點(diǎn)…………10分

（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得橢圓的方程為……………………………11分

根據(jù)題意可設(shè)，則

則直線的方程為…①

過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線方程為…②

①②并整理得：

又在橢圓上，所以所以

即①、②兩直線的交點(diǎn)在橢圓上,所以．…………14分

法二：由（Ⅰ）得橢圓的方程為

根據(jù)題意可設(shè)，則，，

所以直線

，化簡(jiǎn)得

所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052422161387509708/SYS201205242218408593687245_DA.files/image066.png">,所以,則……………12分

所以，則,即

【解析】略