Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足（an+1﹣1）（an﹣1）= （an﹣an+1），a1=2，若bn= ．
（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）令cn= ，{cn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 用數(shù)學(xué)歸納法證明Tn≥ （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由（an+1﹣1）（an﹣1）= （an﹣an+1）得 ﹣ =2，

即bn+1﹣bn=2，

∴{bn}是首項(xiàng)為b1= =1，公差為2的等差數(shù)列．

（2）解：由（1）知，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，cn= = ，

①當(dāng)n=1時(shí)，則有T1=1有T1≥ =1成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即Tk≥ 成立，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，Tk+1=Tk+ck+1= ≥ + ，

欲證 + ≥ ，

只須證 +1≥k+1，

即證 ≥k，即證 ≥ ，即證1≥0，而此式成立

故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．

故有Tn≥ （n∈N*）．

【解析】（1）由（an+1﹣1）（an﹣1）= （an﹣an+1）得 ﹣ =2，繼而得到{bn}是首項(xiàng)為b1= =1，公差為2的等差數(shù)列．（2）由數(shù)學(xué)歸納法和分析法即可證明．
【考點(diǎn)精析】利用等差關(guān)系的確定和數(shù)學(xué)歸納法的定義對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．