Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形且∠DAB=60°，O為AD中點(diǎn)．
（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面POB⊥平面PAD；
（Ⅱ）試問在線段BC上是否存在點(diǎn)M，使DM∥面POB，如存在，指出M的位置，如不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可證明PO⊥AD，OB⊥AD，從而可證AD⊥面POB，又AD?面PAD從而可證面POB⊥面PAD．
（Ⅱ）取M為BC的中點(diǎn)．則$\left.\begin{array}{l}BM∥OD\\ BM=OD\end{array}\right\}⇒BMDO為平行四邊形$，可證DM∥OB，從而可證DM∥面POB．

解答 解：（Ⅰ）∵PA=PD，O為AD中點(diǎn)，∴PO⊥AD
又∵ABCD為菱形且∠DAB=60°∴OB⊥AD
∵PO∩OB=O∴AD⊥面POB
∵AD?面PAD∴面POB⊥面PAD  …（6分）
（Ⅱ）存在，M為BC的中點(diǎn)．
證明如下：$\left.\begin{array}{l}BM∥OD\\ BM=OD\end{array}\right\}⇒BMDO為平行四邊形$，
故DM∥OB，而OB?面POB，DM?面POB，
所以，DM∥面POB…（12分）．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面平行的性質(zhì)，平面與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識的考查．