Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若|PF₂|=|F₁F₂|，且2|PF₁|=3|QF₁|，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{5}$

Answer 1

分析 由題意作圖，從而設(shè)設(shè)點(diǎn)Q（x₀，y₀），從而由2|PF₁|=3|QF₁|可寫出點(diǎn)P（-$\frac{5}{2}$c-$\frac{3}{2}$x₀，-$\frac{3}{2}$y₀）；再由橢圓的第二定義可得|PF₁|=$\frac{c}{a}$|MP|，|QF₁|=$\frac{c}{a}$|QA|，從而可得3（x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2（-$\frac{5}{2}$c-$\frac{3}{2}$x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$），從而化簡得到x₀=-$\frac{5{c}^{2}+{a}^{2}}{6c}$，再由|PF₂|=|F₁F₂|及橢圓的第二定義可得3a²+5c²-8ac=0，從而解得．

解答 解：由題意作圖如右圖，
l₁，l₂是橢圓的準(zhǔn)線，設(shè)點(diǎn)Q（x₀，y₀），
∵2|PF₁|=3|QF₁|，
∴點(diǎn)P（-$\frac{5}{2}$c-$\frac{3}{2}$x₀，-$\frac{3}{2}$y₀）；
又∵|PF₁|=$\frac{c}{a}$|MP|，|QF₁|=$\frac{c}{a}$|QA|，
∴2|MP|=3|QA|，
又∵|MP|=-$\frac{5}{2}$c-$\frac{3}{2}$x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$，|QA|=x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴3（x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2（-$\frac{5}{2}$c-$\frac{3}{2}$x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$），
解得，x₀=-$\frac{5{c}^{2}+{a}^{2}}{6c}$，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴（$\frac{5}{2}$c+$\frac{3}{2}$x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$）$\frac{c}{a}$=2c；
將x₀=-$\frac{5{c}^{2}+{a}^{2}}{6c}$代入化簡可得，
3a²+5c²-8ac=0，
即5$（\frac{c}{a}）^{2}$-8$\frac{c}{a}$+3=0；
解得，$\frac{c}{a}$=1（舍去）或$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．