Question

13．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}$（t為參數(shù)）．
（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=3x}\\{y'=y}\end{array}}$得到曲線C′，設(shè)曲線C′上任一點為M（x，y），求x+$\sqrt{3}$y的最小值．

Answer 1

分析 （1）由直線L的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}$消去參數(shù)t得直線L的直角坐標(biāo)方程．由公式ρ²=x²+y²得曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C經(jīng)過伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=3x}\\{y'=y}\end{array}}$變?yōu)?\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{x′}{3}}\\{y=y′}\end{array}\right.$代入直角坐標(biāo)方程即可得到曲線C′的方程，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{z=x+\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，消去x，令△=0，解之即可．

解答 解：（1）由直線L的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}$消去參數(shù)t得直線L的直角坐標(biāo)方程為：$\sqrt{3}$x-y+2-$\sqrt{3}$=0，
由公式ρ²=x²+y²得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1；
（2）曲線C經(jīng)過伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=3x}\\{y'=y}\end{array}}$變?yōu)?\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{x′}{3}}\\{y=y′}\end{array}\right.$，
將其代入直角坐標(biāo)方程得到曲線C′的方程
為$（\frac{x′}{3}）^{2}+y{′}^{2}=1$，即$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$，
記z=x+$\sqrt{3}$y，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{z=x+\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
消去x，得$12{y}^{2}-2\sqrt{3}zy+{z}^{2}-9=0$，
顯然$△=（-2\sqrt{3}z）^{2}-4×12×（{z}^{2}-9）=0$，
解得z=$±2\sqrt{3}$，故x+$\sqrt{3}$y得最小值為$-2\sqrt{3}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程極坐標(biāo)化為普通方程、伸縮變換、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．