Question

某人仿照福利彩票快3設(shè)計(jì)了一款游戲，有一個(gè)不透明的紙箱里裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5，6形狀大小相同的小球，游戲參加者需要三次有放回的從箱子里取出一個(gè)小球，分別記下小球上的數(shù)字，若三次都是同一個(gè)數(shù)字，獲一等獎(jiǎng)；若三次小球上的數(shù)字都是連號(hào)（不考慮順序），獲二等獎(jiǎng)；其它情況無獎(jiǎng)．參加游戲者需要購(gòu)買20元（包括卡片成本費(fèi)為4元）的精美卡片一張，憑次卡片參加一次摸球活動(dòng)
（1）某人購(gòu)買兩張卡片參加兩次游戲，求至少有一次獲獎(jiǎng)的概率；
（2）如果獎(jiǎng)勵(lì)改為返還一定價(jià)值的禮品，一等獎(jiǎng)禮品價(jià)值是二等獎(jiǎng)的2倍，統(tǒng)計(jì)表明：每天的銷量y（張）與一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)禮品價(jià)值x（元）的關(guān)系式為y=

x

4

+24．問x設(shè)定為多少最理想？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）三次有放回的從箱子里取出一個(gè)小球，基本事件總數(shù)為6³，三次都是同一個(gè)數(shù)字，包含的基本事件個(gè)數(shù)為6，三次小球上的數(shù)字都是連號(hào)（不考慮順序），是從（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6）四種情況中取一種進(jìn)行全排列，包含的基本事件個(gè)數(shù)為4

A

3 3

．由此先求出顧客一次購(gòu)買一件飲品獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率，從而利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出某人購(gòu)買兩張卡片參加兩次游戲，至少有一次獲獎(jiǎng)的概率．
（Ⅱ）設(shè)一顧客每購(gòu)買一件飲品所得獎(jiǎng)金額為X元，則X的可能取值為x，

x

2

，0，分別求出相應(yīng)的概率，從而得到E（x）=

x

12

，進(jìn)而求出該商場(chǎng)每天銷售這種飲品所得平均利潤(rùn)，由此二次函數(shù)性質(zhì)能求出x設(shè)定為多少最理想．

解答： （Ⅰ）記事件：“一顧客購(gòu)買一件飲品獲得i等獎(jiǎng)”為A_i，i=1，2，
則P（A₁）=

6

63

=

1

36

，P（A₂）=

4 A 3 3

63

=

4

36

，
則一顧客一次購(gòu)買一件飲品獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為：
P（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）=

5

36

．…（4分）
故一顧客一次購(gòu)買兩件飲品，
至少有一件獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率p=1-（1-

5

36

）²=

335

1296

．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)一顧客每購(gòu)買一件飲品所得獎(jiǎng)金額為X元，
則X的可能取值為x，

x

2

，0．
由（Ⅰ）得P（X=x）=

1

36

，P（X=

x

2

）=

4

36

，P（X=0）=1-

1

36

-

4

36

=

31

36

，
∴E（x）=

x

36

+

2x

36

=

x

12

．…（9分）
該商場(chǎng)每天銷售這種飲品所得平均利潤(rùn)
Y=y[（36-20）-E（x）]=（

x

4

+24）（16-

x

12

）=-

1

48

（x-48）²+432．
當(dāng)x=48時(shí)，Y最大．故x設(shè)定為48（元）為最佳．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查滿足條件的獎(jiǎng)品價(jià)值的求法，涉及到古典概率、互斥事件概率計(jì)算公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的概率分布列、數(shù)學(xué)期望、二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．