精英家教網(wǎng)（1）如圖，設(shè)點P，Q是線段AB的三等分點，若
OA
=a，
OB
=b，試用a，b表示向量
OP
，
OQ
．
（2）在（1）中，當點P，Q三等分線段AB中，有
OP
+
OQ
=
OA
+
OB
．如果點A1，A2，…A&n是AB的n（n≥3）等分點，你能得出什么結(jié)論？請證明你的結(jié)論．
（3）條件同（1）（2），試用試用a，b表示向量
OAk
（1≤k≤n）．
分析：（1）由題意知，
BA
=
a
-
b
，
OP
+
PA
=
OA
，從而得到
OP
=
OA
-
PA
，同理求
OQ
．
（2）先寫出結(jié)論，在進行證明，數(shù)形結(jié)合再利用向量加法的法則和幾何意義知，
OAk
=
OA
-
AkA
=
a
-
k
n
（
a
-
b
），
化簡
OA1
+
OA2
+…+
OAn-1
 的解析式，利用等差數(shù)列求和公式得到它的結(jié)果．
（3）由（2）的證明過程知，
OAk
=
a
-
k
n
（
a
-
b
）．
解答：解：（1）由題意知，
BA
=
a
-
b
，
OP
+
PA
=
OA
，
∴
OP
=
OA
-
PA
=
a
-
1
3
•（
BA
）=
a
-
1
3
（
a
-
b
 ）=
2
3
•
a
+
1
3
•
b
．
OQ
=
OA
-
2
3
BA
=
a
-
2
3
（
a
-
b
）=
1
3
a
+
2
3
b
．
（2）能得到的結(jié)論是：
OA1
+
OA2
+…+
OAn-1
═
n-1
2
a
+
n-1
2
b
．
證明：
∵
OA1
=
OA
-
A1A
=
a
-
1
n
（
a
-
b
）=
n-1
n
a
+
1
n
b
，
OA2
=
OA
-
A2A
=
a
-
2
n
（
a
-
b
）=
n-2
n
a
+
2
n
b
，
…
OAn-1
=
OA
-
An-1A
=
a
-
n-1
n
（
a
-
b
）=
1
n
a
+
n-1
n
b
，
∴
OA1
+
OA2
+…+
OAn-1
=（
n-1
n
+
n-2
n
+…+
1
n
）
a
+（
n-1
n
+
n-2
n
+…+
1
n
）
b
 
=
n-1
2
a
+
n-1
2
b
．
（3）
OAk
=
OA
-
AkA
=
a
-
k
n
（
a
-
b
）=
n-k
n
a
+
k
n
b
．
點評：本題考查向量加法、減法的運算法則和幾何意義，并且運用等差數(shù)列求和公式進行計算化簡以及進行合情推理．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，設(shè)點P是橢圓E：
x2
4
+y2=1上的任意一點（異于左，右頂點A，B）．
（1）若橢圓E的右焦點為F，上頂點為C，求以F為圓心且與直線AC相切的圓的半徑；
（2）設(shè)直線PA，PB分別交直線l：x=
10
3
與點M，N，求證：PN⊥BM．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）如圖，設(shè)點P，Q是線段AB的三等分點，若
OA
=
a
，
OB
=
b
，試用
a
，
b
表示
OP
，
OQ
，并判斷
OP
+
OQ
與
OA
+
OB
的關(guān)系；
（2）受（1）的啟示，如果點A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分點，你能得到什么結(jié)論？請證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（1）如圖，設(shè)點P，Q是線段AB的三等分點，若數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式，試用數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式表示數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式，并判斷數(shù)學(xué)公式與數(shù)學(xué)公式的關(guān)系；
（2）受（1）的啟示，如果點A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分點，你能得到什么結(jié)論？請證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年上海市上海中學(xué)高三數(shù)學(xué)綜合練習試卷（4）（解析版） 題型：解答題

（1）如圖，設(shè)點P，Q是線段AB的三等分點，若，，試用，表示，，并判斷與的關(guān)系；
（2）受（1）的啟示，如果點A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分點，你能得到什么結(jié)論？請證明你的結(jié)論．

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