Question

（1）如圖，設(shè)點(diǎn)P，Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若，，試用，表示，，并判斷與的關(guān)系；
（2）受（1）的啟示，如果點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）如圖：點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)=，
則，同理，
所以
即：，
（2）設(shè)A₁，A₂．，…，A_n-1是AB的n等分點(diǎn)，
則；
證：A₁，A₂，，A_n-1是線段n≥2的等分點(diǎn)，
先證明：（1≤k≤n-1，n、k∈N⁺）．
由，，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/34236.png' />和是相反向量，
則，
所以．
記，

相加得
∴．
分析：（1）由三角形法則及向量共線的數(shù)乘表示，分別用向量、表示出，相加即得用向量、表示的表達(dá)式，進(jìn)而判斷與的關(guān)系；
（2）受（1）的啟示，如果點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點(diǎn)，歸納得出猜想，再數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平行向量與共線向量、歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．