Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：（）的離心率是，拋物線：的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與過(guò)且垂直于軸的直線交于點(diǎn)．

（i）求證：點(diǎn)在定直線上；

（ii）直線與軸交于點(diǎn)，記△的面積為，△的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）證明見(jiàn)解析，（ii）的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【解析】

試題分析：（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓的，，的關(guān)系，解得，，

進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）（i）設(shè)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率和方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，求得的方程，再令，可得．進(jìn)而得到定直線；（ii）由直線的方程為，令，可得，運(yùn)用三角形的面積公式，可得，，化簡(jiǎn)整理，再，整理可得的二次方程，進(jìn)而得到最大值及此時(shí)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）由題意知，可得，

因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，所以，，

所以橢圓的方程為．

（2）（i）設(shè)（），由可得，

所以直線的斜率為，

因此直線的方程為，即，

設(shè)，，，聯(lián)立方程

得，

由，得且，

因此，

將其代入，得，

因?yàn)?/span>，所以直線方程為，

聯(lián)立方程得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

即點(diǎn)在定直線上．

（ii）由（i）知直線方程為，令，得，∴，

又，，，

所以，

，所以，

令，則，則，

當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，滿足，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．