Question

2．若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，函數(shù)y=cosx-sin²x的值域為[-$\frac{5}{4}$，1]．

Answer 1

分析 先可將原函數(shù)變成y=$（cosx+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{5}{4}$，而由x的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可求出$cosx∈[-\frac{1}{2}，1]$，通過上面函數(shù)解析式即可求出原函數(shù)的最大值，最小值，從而求出其值域．

解答 解：y=cos²x+cosx-1=$（cosx+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{5}{4}$；
$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴$cosx∈[-\frac{1}{2}，1]$；
∴$cosx=-\frac{1}{2}$時，原函數(shù)取最小值$-\frac{5}{4}$；
cosx=1時，原函數(shù)取最大值1；
∴原函數(shù)的值域為$[-\frac{5}{4}，1]$．
故答案為：[$-\frac{5}{4}$，1]．

點評 考查sin²x+cos²x=1，配方法求函數(shù)的最值，從而求出函數(shù)的值域，以及對余弦函數(shù)圖象的掌握，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求余弦函數(shù)的范圍．