Question

13．設(shè)$\overrightarrow a，\overrightarrow b$為非零向量，$|{\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，兩組向量$\overrightarrow{x_1}，\overrightarrow{x_2}，\overrightarrow{x_3}，\overrightarrow{x_4}$和$\overrightarrow{y_1}，\overrightarrow{y_2}，\overrightarrow{y_3}，\overrightarrow{y_4}$均由2個$\overrightarrow a$和2個$\overrightarrow b$排列而成．若$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{y_1}+\overrightarrow{x_2}.\overrightarrow{y_2}+\overrightarrow{x_3}.\overrightarrow{y_3}+\overrightarrow{x_4}.\overrightarrow{y_4}$的所有可能取值中的最小值為$4{|{\overrightarrow a}|^2}$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 兩組向量$\overrightarrow{x_1}，\overrightarrow{x_2}，\overrightarrow{x_3}，\overrightarrow{x_4}$和$\overrightarrow{y_1}，\overrightarrow{y_2}，\overrightarrow{y_3}，\overrightarrow{y_4}$均由2個$\overrightarrow a$和2個$\overrightarrow b$排列而成，結(jié)合其數(shù)量積組合情況，即可得出結(jié)論

解答 解：由題意，設(shè)$\overrightarrow a，\overrightarrow b$為非零向量的夾角為α，
分類討論可得
①$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{y_1}+\overrightarrow{x_2}.\overrightarrow{y_2}+\overrightarrow{x_3}.\overrightarrow{y_3}+\overrightarrow{x_4}.\overrightarrow{y_4}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow•\overrightarrow+\overrightarrow•\overrightarrow$=$10|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，不滿足
②$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{y_1}+\overrightarrow{x_2}.\overrightarrow{y_2}+\overrightarrow{x_3}.\overrightarrow{y_3}+\overrightarrow{x_4}.\overrightarrow{y_4}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow•\overrightarrow{a}+\overrightarrow•\overrightarrow$=5|$\overrightarrow{a}$|²+4|$\overrightarrow{a}$|²cosα，不滿足；
③$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{y_1}+\overrightarrow{x_2}.\overrightarrow{y_2}+\overrightarrow{x_3}.\overrightarrow{y_3}+\overrightarrow{x_4}.\overrightarrow{y_4}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=8|$\overrightarrow{a}$|²cosα=4|$\overrightarrow{a}$|²，滿足題意，此時cosα=$\frac{1}{2}$
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查向量的數(shù)量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題