Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1．對(duì)n∈N^*有a_n≠0且S_n=

n+1

2

a_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+

1

a 2 3

+…+

1

a 2 n

＜

7

4

；
（3）若數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，且（b_n）ⁿ⁺¹=a_n+1，求數(shù)列{b_n}的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n，得到

an+1

an

=

n+1

n

，再利用累乘法得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用放縮法，當(dāng)n≥3時(shí)，

1

an2

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，故成立，再驗(yàn)證n=1，n=2時(shí)也成立；
（3）先兩邊取自然對(duì)數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)令f（x）=

ln(x+1)

x+1

，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，繼而求出數(shù)列{b_n}的最大值．

解答： 解：（1）∵S_n=

n+1

2

a_n，
∴S_n+1=

n+2

2

a_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

n+2

2

a_n+1-

n+1

2

a_n，
∴

an+1

an

=

n+1

n

，
∴

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

=

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

=n，
∵a₁=1，
∴a_n=n，
（2）∵a_n=n，
∴

1

an2

=

1

n2

，
∵當(dāng)n≥3時(shí)，

1

an2

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=1+

1

4

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

當(dāng)n=1時(shí)，

1

a12

=1＜

7

4

，
當(dāng)n=2時(shí)，

1

a12

+

1

a22

=1+

1

4

＜

7

4

綜上所述：

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+

1

a 2 3

+…+

1

a 2 n

＜

7

4

；
（3）∵數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，且（b_n）ⁿ⁺¹=a_n+1=n+1
兩邊取自然對(duì)數(shù)，得
（n+1）lnb_n=ln（n+1），
∴l(xiāng)nb_n=

ln(n+1)

n+1

，
令t=n+1，
∴l(xiāng)nb_n=

lnt

t

，
令f（x）=

ln(x+1)

x+1

，
∴f′（x）=

1-ln(x+1)

(x+1)2

令f′（x）=0，解得x=e-1，
當(dāng)x＞e-1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)遞減，
當(dāng)x＜e-1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)遞增，
∴當(dāng)x=e-1時(shí)，函數(shù)f（x）_max=f（e-1）=

1

e

∴1＜e-1＜2，
∴當(dāng)n=1或n=2時(shí)，lnb_n取的最大值，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=

2

，
當(dāng)n=2時(shí)，b₂=

3	3

，
∵

2

＜

3	3

，
∴當(dāng)n=2時(shí)，數(shù)列{b_n}的最大值，最大值為

3	3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)，放縮法證明不等式成立，構(gòu)造函數(shù)法，求數(shù)列的最值，屬于中檔題