Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分別為PA，BC的中點，且PD=AD=$\sqrt{2}$
（1）求證：MN∥平面PCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD．
（3）求三棱錐A-MBC的體積．

Answer 1

分析 （1）取PD中點E，連結ME，CE，可證明四邊形MNCE是平行四邊形，得到MN∥CE，從而得出結論MN∥平面PCD；
（2）連結AC，可證明平面PBD內的直線BD⊥平面PAC即可；
（3）連結DM，易證CD∥平面PAB，DM⊥平面PAB，故點C到平面PAB的距離為DM，求出棱錐C-AMB的底面直角邊長AB，AM，代入公式即可求得V_棱錐A-MBC=V_棱錐C-AMB．

解答 證明：（1）取PD中點E，連結ME，CE，則ME是△PAD的中位線，
∴ME∥AD，ME=$\frac{1}{2}$AD，
∵底面ABCD是正方形，N是BC中點，
∴NC∥AD，NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴ME∥NC，ME=NC，
∴四邊形MNCE是平行四邊形，∴MN∥CE，
∵CE?平面PCD，MN?平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（2）連結AC，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又∵PD?平面PBD，BD?平面PBD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
解：（3）連結DM，MB，
∵PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PD⊥AB，∵AD⊥AB，PD?平面PAD，AD?平面PAD，PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD，∵DM?平面PAD，
∴AB⊥DM，AB⊥AM，
∵PD=AD，M是PA中點，
∴DM⊥PA．
又∵AB?平面PAB，PA?平面PAB，AB∩PA=A，
∴DM⊥平面PAB，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=AD=$\sqrt{2}$，AM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=1．DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=1．
∵AB?平面PAB，CD?平面PAB，
∴CD∥平面PAB，
設點C到平面PAB的距離為d．則d=DM=1．
∴V_棱錐A-MBC=V_棱錐C-AMB=$\frac{1}{3}•$$\frac{1}{2}$•AB•AM•DM=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定和幾何體體積計算，構造平行線和找到題中的垂直關系是解題關鍵．