Question

18．已知$\overrightarrow{a}$=（1，0，-1），$\overrightarrow$=（-1，1，2）
①$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$夾角的余弦值為$\frac{5\sqrt{7}}{14}$；
②若k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$平行，則k=-$\frac{1}{2}$；
③若k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$垂直，則k=$\frac{15}{7}$．

Answer 1

分析 ①利用向量的坐標公式計算$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$夾角的余弦值即可；
②根據(jù)兩向量平行的坐標表示，列出方程求出k的值；
③根據(jù)兩向量垂直，它們的數(shù)量積為，求出k的值．

解答 解：①∵$\overrightarrow{a}$=（1，0，-1），$\overrightarrow$=（-1，1，2），
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（2，-1，-3），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=2×1+（-1）×0+（-3）×（-1）=5；
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{{2}^{2}+（-1）}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{14}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+0}^{2}{+（-1）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$夾角的余弦值為
cos＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|×|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{5}{\sqrt{14}×\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$；
②∵k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（k，0，-k）+（-1，1，2）=（k-1，1，2-k），
$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=（1，0，-1）-（-2，2，4）=（3，-2，-5），
且兩向量平行，
∴$\frac{k-1}{3}$=-$\frac{1}{2}$=$\frac{2-k}{-5}$，
解得k=-$\frac{1}{2}$；
③∵k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（k-1，1，2-k），
$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$=（1，0，-1）+（-3，3，6）=（-2，3，5），
且兩向量垂直，
∴（k$\overrightarrow{a}$+b）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）=-2（k-1）+3×1+5（2-k）=0，
解得k=$\frac{15}{7}$．
故答案為：①$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，②-$\frac{1}{2}$，③$\frac{15}{7}$．

點評 本題考查了空間向量的坐標表示與坐標運算問題，也考查了空間向量的平行與垂直問題，是基礎(chǔ)題目．