Question

7．已知函數(shù)f（x）=ln（x-1+$\frac{1}{a}$）．
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
（i）求函數(shù)F（x）=f（x）-m+$\frac{a}{x}$的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明其單調(diào)性；
（ii）對(duì)于m∈R，函數(shù)F（x）是否一定存在零點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)b，關(guān)于x的不等式bf（x）＞$\frac{x}{2}$+m在[1，e]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）（i）求導(dǎo)數(shù)F′（x）=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{{x}^{2}（x-1+\frac{1}{a}）}$，而函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋?\frac{a-1}{a}$，+∞），F(xiàn)′（x）=0的兩根為1，a-1，所以比較a-1和$\frac{a-1}{a}$的大小，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可找出F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ii）由上一問(wèn)可以知道F（x）在$（\frac{a-1}{a}，a-1]$上是單調(diào)的，而a趨向于0時(shí)，F(xiàn)（$\frac{a-1}{a}$）趨向負(fù)無(wú)窮，而F（a-1）趨向于正無(wú)窮，這樣即可知道F（x）一定存在零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，bf（x）=blnx，顯然該函數(shù)在[1，e]上單調(diào)遞增，從而最小值為0，從而要滿足條件，只需0$＞\frac{x}{2}+m$，從而得到$-\frac{x}{2}＞m$，同樣的辦法求$-\frac{x}{2}$在[1，e]上的最小值，只要該最小值大于m，從而可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）（i）F′（x）=$\frac{1}{x-1+\frac{1}{a}}-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{{x}^{2}（x-1+\frac{1}{a}）}$；
∵0＜a＜1；
∴a-1＜0；
函數(shù)f（x）中的x滿足$x＞\frac{a-1}{a}$；
而$\frac{a-1}{a}＜a-1$；
∴F（x）在$（\frac{a-1}{a}，a-1）$，（1，+∞）上單調(diào)遞增，在[a-1，1]上單調(diào)遞減；
∴F（x）的增區(qū)間為（$\frac{a-1}{a}，a-1$），（1，+∞），減區(qū)間為[a-1，1]；
（ii）由（i）知，F(xiàn)（x）在（$\frac{a-1}{a}，a-1$）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（a-1）=$ln（a+\frac{1}{a}-2）-m+\frac{a}{a-1}$；
當(dāng)a趨向0時(shí)，F(xiàn)（a-1）趨向于正無(wú)窮，而當(dāng)x趨向$\frac{a-1}{a}$時(shí)，F(xiàn)（x）趨向負(fù)無(wú)窮；
∴F（x）在（$\frac{a-1}{a}，a-1$）上存在一個(gè)零點(diǎn)；
∴對(duì)于m∈R，函數(shù)F（x）一定存在零點(diǎn)；
（2）a=1時(shí)，由bf（x）$＞\frac{x}{2}+m$得：blnx$＞\frac{x}{2}+m$；
b＞0，∴函數(shù)blnx在[1，e]上單調(diào)遞增；
∴x=1時(shí)，函數(shù)blnx取最小值0；
∴$0＞\frac{x}{2}+m$；
即$-\frac{x}{2}＞m$在x∈[1，e]上恒成立；
$-\frac{x}{2}$在[1，e]上的最小值為$-\frac{e}{2}$；
∴$-\frac{e}{2}＞m$，即m$＜-\frac{e}{2}$；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-$\frac{e}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，二次函數(shù)在兩根之間和兩根之外的符號(hào)情況，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，以及對(duì)于單調(diào)函數(shù)在一區(qū)間的函數(shù)值符號(hào)相反時(shí)，該函數(shù)必在該區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值．