已知?jiǎng)狱c(diǎn)H到直線x-4=0的距離與到點(diǎn)(2,0)的距離之比為
2

(Ⅰ) 求動(dòng)點(diǎn)H的軌跡E的方程;
(Ⅱ)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,且
OA
OB
?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由.
分析:(Ⅰ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)H(x,y),
|x-4|
(x-2)2+y2
=
2
,由此能求出動(dòng)點(diǎn)H的軌跡E的方程.
(Ⅱ)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且
OA
OB
,當(dāng)圓的切線不垂直x軸時(shí),設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m,與x2+2y2=8聯(lián)立方程得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,再由根的判別式和韋達(dá)定理能夠得到所求的圓.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線x=±
2
6
3
,與橢圓x2+2y2=8的兩個(gè)交點(diǎn)為(
2
6
3
,±
2
6
3
)
(-
2
6
3
,±
2
6
3
)
,滿足
OA
OB
.由此知存在圓心在原點(diǎn)的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)且
OA
OB
解答:解:(Ⅰ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)H(x,y)(1分)
|x-4|
(x-2)2+y2
=
2
(3分)
∴動(dòng)點(diǎn)H的軌跡E的方程為x2+2y2=8,(4分)
(Ⅱ)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)且
OA
OB

①當(dāng)圓的切線不垂直x軸時(shí),設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m,
與x2+2y2=8聯(lián)立方程得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
∴△=8(8k2-m2+4)>0,
x1+x2=-
4km
1+2k2
,x1x2=
2m2-8
1+2k2
,(5分)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
m2-8k2
1+2k2
,(6分)
OA
OB
,
∴x1x2+y1y2=0,
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0
,
∴3m2-8k2-8=0,
∴8k2=3m2-8,(7分)
∴對任意k,符合條件的m滿足
3m2-8≥0
3m2-8-m2+4>0

m2
8
3
,即m≥
2
6
3
m≤-
2
6
3
,(8分)
∵直線y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,
∴所以圓的半徑為r=
|m|
1+k2
,
r2=
m2
1+k2
=
8(1+k2)
3(1+k2)
=
8
3

∴所求的圓為x2+y2=
8
3
,(9分)
此時(shí)該圓的切線y=kx+m都滿足m≥
2
6
3
m≤-
2
6
3
,分
∴所求的圓為x2+y2=
8
3
,(10分)
②當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線x=±
2
6
3
,
與橢圓x2+2y2=8的兩個(gè)交點(diǎn)為(
2
6
3
,±
2
6
3
)
(-
2
6
3
,±
2
6
3
)
,
滿足
OA
OB
,(11分)
綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)且
OA
OB
點(diǎn)評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,解題時(shí)要認(rèn)真審題,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,注意耐心地進(jìn)行計(jì)算,避免不必要的錯(cuò)誤.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年銀川一中二模理)(12分)

已知=(0,-2),=(0,2)其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)。直線L: y=-2,動(dòng)點(diǎn)P到直線L的距離為d,且d=||.

(1)  求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)  直線m: y=x+1(k>0)與點(diǎn)P的軌跡交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求直線m的傾斜角α的范圍

(3)  設(shè)直線h與點(diǎn)P的軌跡交于C,D兩點(diǎn),若=-12,那么直線h一定過B點(diǎn)嗎?請說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知=(0,-2),=(0,2),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).直線l:y=-2,動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離為d,且d=||.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)直線m:y=x+1(k>0)與點(diǎn)P的軌跡交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)·≥17時(shí),求直線m的傾斜角α的范圍;

(3)設(shè)直線h與點(diǎn)P的軌跡交于C,D兩點(diǎn),若·=-12,那么直線h一定過B點(diǎn)嗎?請說明理由.

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已知?jiǎng)狱c(diǎn)H到直線x-4=0的距離與到點(diǎn)(2,0)的距離之比為
(Ⅰ) 求動(dòng)點(diǎn)H的軌跡E的方程;
(Ⅱ)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,且?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年四川省瀘州市高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知?jiǎng)狱c(diǎn)H到直線x-4=0的距離與到點(diǎn)(2,0)的距離之比為
(Ⅰ) 求動(dòng)點(diǎn)H的軌跡E的方程;
(Ⅱ)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,且?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由.

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