Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)H到直線(xiàn)x-4=0的距離與到點(diǎn)（2，0）的距離之比為．
（Ⅰ） 求動(dòng)點(diǎn)H的軌跡E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)H（x，y），，由此能求出動(dòng)點(diǎn)H的軌跡E的方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓使圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且，當(dāng)圓的切線(xiàn)不垂直x軸時(shí)，設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為y=kx+m，與x²+2y²=8聯(lián)立方程得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理能夠得到所求的圓．當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)，與橢圓x²+2y²=8的兩個(gè)交點(diǎn)為或，滿(mǎn)足．由此知存在圓心在原點(diǎn)的圓使圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)H（x，y）（1分）
∴（3分）
∴動(dòng)點(diǎn)H的軌跡E的方程為x²+2y²=8，（4分）
（Ⅱ）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓使圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且，
①當(dāng)圓的切線(xiàn)不垂直x軸時(shí)，設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為y=kx+m，
與x²+2y²=8聯(lián)立方程得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴△=8（8k²-m²+4）＞0，
∴，（5分）
∴，（6分）
∵，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴，
∴3m²-8k²-8=0，
∴8k²=3m²-8，（7分）
∴對(duì)任意k，符合條件的m滿(mǎn)足，
∴，即或，（8分）
∵直線(xiàn)y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn)，
∴所以圓的半徑為，
∴，
∴所求的圓為，（9分）
此時(shí)該圓的切線(xiàn)y=kx+m都滿(mǎn)足或，分
∴所求的圓為，（10分）
②當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)，
與橢圓x²+2y²=8的兩個(gè)交點(diǎn)為或，
滿(mǎn)足，（11分）
綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓使圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意耐心地進(jìn)行計(jì)算，避免不必要的錯(cuò)誤．