Question

12．已知命題P：對(duì)x∈[1，2]，不等式x²≥k恒成立，命題Q：關(guān)于x的方程x²-x+k=0有實(shí)數(shù)根，如果命題“￢P”為假，命題“P∧Q”為假，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 首先，判斷出P，Q的真假，求解所給命題都是真命題時(shí)，k的取值情況，然后，結(jié)合條件求解即可．

解答 解：因?yàn)槊�題“￢P”為假，所以命題P是真命題，
又因?yàn)槊�題“P∧Q”為假，所以命題Q是假命題，
要使對(duì)任意x∈[1，2]，不等式x²≥k恒成立，只需k≤（x²）_min=1，
所以命題P是真命題的條件是：k≤1．
關(guān)于x的方程x²-x+k=0有實(shí)數(shù)根，則只需△=1-4k≥0，即k≤$\frac{1}{4}$．
命題Q是真命題的條件是：k≤$\frac{1}{4}$，所以命題Q是假命題的條件是k＞$\frac{1}{4}$．
綜上所述，使命題“￢P”為假，命題“P∧Q”為假的條件是k的取值范圍為 $（\frac{1}{4}，1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了不等式恒成立問(wèn)題、命題的真假判斷、復(fù)合命題的真假判斷等知識(shí)，屬于中檔題．