Question

20．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞0），過x軸上一點Q（t，0），且斜率為k≠0的動直線l交橢圓E于A、B兩點，A′與A關(guān)于x軸對稱，直線BA′交x軸于點P，當(dāng)t=0，k=$\sqrt{2}$時，|AB|=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$．
（1）求a；
（2）若t≠0，則|OP|•|OQ|是否為定值？若是求出這個定值，若不是說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)t=0，k=$\sqrt{2}$時，直線l的方程為：y=$\sqrt{2}$x，代入橢圓方程化為x²=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$，y²=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$，利用|AB|=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，解得a．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，y₁），直線BA′的方程為：$y-{y}_{2}=\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（x-{x}_{2}）$，令y=0，解得x_P，直線l的方程為：y=k（x-t），與橢圓方程聯(lián)立化為（1+2k²）x²-4k²tx+2k²t²-4=0，△＞0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入x_P=$\frac{4}{t}$，即可得出|OP|•|OQ|為定值．

解答 解：（1）當(dāng)t=0，k=$\sqrt{2}$時，直線l的方程為：y=$\sqrt{2}$x，代入橢圓方程可得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{2{x}^{2}}{2}$=1，
化為x²=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$，y²=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$，
∵|AB|=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，
∴$（\frac{4\sqrt{15}}{5}）^{2}$=4（x²+y²）=4$（\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+1}+\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+1}）$，化為a²=4，a＞0，
解得a=2．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，y₁），
直線BA′的方程為：$y-{y}_{2}=\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（x-{x}_{2}）$，
令y=0，解得x_P=x₂+$\frac{{y}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
直線l的方程為：y=k（x-t），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-t）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化為（1+2k²）x²-4k²tx+2k²t²-4=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}t}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}{t}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
∴x_P=$\frac{{kx}_{1}（{x}_{2}-t）+{kx}_{2}（{x}_{1}-t）}{k（{x}_{1}+{x}_{2}-2t）}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-t（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-2t}$=$\frac{\frac{2（2{k}^{2}{t}^{2}-4）}{1+2{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}{t}^{2}}{1+2{k}^{2}}}{\frac{4{k}^{2}t}{1+2{k}^{2}}-2t}$=$\frac{4}{t}$．
∴|OP|•|OQ|=$\frac{4}{t}×t$=4為定值．

點評 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、定值問題等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．