已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)y在軸上，焦距為，且過(guò)點(diǎn)M。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且N恰好為AB中點(diǎn)，能否在橢圓C上找到點(diǎn)D，使△ABD的面積最大？若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（1）（2）存在，

解析試題分析：（1）用橢圓的定義可求，根據(jù)焦距和可求；也可將點(diǎn)代入設(shè)出的橢圓方程解方程組求。（2）用點(diǎn)差法求直線的斜率，設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，直線與橢圓的焦點(diǎn)即為所求點(diǎn)。
試題解析：（1）（方法一）依題意，設(shè)橢圓方程為，  1分
則，                  2分
因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)為，所以
="4"   4分
                   5分
橢圓的方程為                 6分
（方法二）依題意，設(shè)橢圓方程為，      1分
則，即，解之得    5分
橢圓C的方程為                  6分
（2）如圖

（方法一）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
則                  7分
     ①        ②
①-②，得,
       9分
設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為
聯(lián)立方程組，消去整理得
由判別式得        12分
由圖知，當(dāng)時(shí)，與橢圓的切點(diǎn)為，此時(shí)
的面積最大

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為      14分
（方法二）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，
消去整理得 
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則
所以直線AB的方程為，即 9分（以下同法一）
考點(diǎn)：1橢圓方程；2點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題；3數(shù)形結(jié)合。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓:的離心率,原點(diǎn)到過(guò)點(diǎn),的直線的距離是.
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求 的取值范圍；
（3）如果直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，且，都在以為圓心的圓上，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知為橢圓,的左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線交橢圓于，設(shè) .
（1）證明： 成等比數(shù)列；
(2)若的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；
（3）在(2)的橢圓中，過(guò)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知直線l：y＝x＋，圓O：x2＋y2＝5，橢圓E：＝1(a>b>0)的離心率e＝，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過(guò)圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩條切線的斜率之積為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
（1）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其
中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上的點(diǎn)(2，1)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸下方，且＝3.求過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓C：＝1(a>b>0)上兩點(diǎn)，已知m＝，n＝，若m·n＝0且橢圓的離心率e＝，短軸長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)試問(wèn)△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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