Question

【題目】已知函數

（1）若當時，恒成立，求實數的取值范圍.

（2）設，求證：當時， .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析

【解析】

（1）解法一：求得函數導數并通分，對分成兩種情況，結合函數的單調性、最值，求得實數的取值范圍.解法二：將原不等式分離常數，得到，構造函數，利用導數結合洛必達法則，求得的取值范圍，由此求得的取值范圍.（2）解法一：先由（1）的結論，證得當時成立.再利用導數證得當時，也成立，由此證得不等式成立.解法二：將所要證明的不等式等價轉化為，構造函數，利用導數證得，進而證得，也即證得.

解：（1）【解法一】由得：

①當時，由知，

在區(qū)間上為增函數，

當時，恒成立，

所以當時，滿足題意；

②當時，在區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是增函數.

這時當時，，

令，則

即在上為減函數，所以

即在上的最小值，

此時，當時，不可能恒成立，即有不滿足題意.

綜上可知，當，使恒成立時，

的取值范圍是.

【解法二】

當時，等價于

令，則只須使

設

在上為增函數，

所以在上為增函數，

當時，

由洛必達法則知

即當時，，所以有

即當，使恒成立時，則的取值范圍是

（2）解法一：由（1）知，當時，

當時，

又

成立

故只須在證明，當時，即可

當時，

又當時，

所以，只須證明即可；

設

由得：

當，時

當時，

即在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上為減函數，

當時，

成立

綜上可知，當時，成立.

（2）解法二：由（1）知當時，

等價于

設

由得：

當時，；當時，

即在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上為減函數，

當時，

因為時，.所以

所以成立.

綜上可知，當時，成立.