Question

3．若函數(shù)f（x）=$\frac{4x}{x+1}$，g（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|-|x-b|），a＜b，?x₁≥0，?x₂≤x₁，使得g（x₂）=f（x₁），則2a+b的最大值為-7．

Answer 1

分析 當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\frac{4x}{x+1}$為增函數(shù)，此時(shí)f（x）∈[0，4），g（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|-|x-b|），x∈[a，b]時(shí)，也為增函數(shù)，且斜率為1，進(jìn)而結(jié)合?x₁≥0，?x₂≤x₁，使得g（x₂）=f（x₁），可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}（b-a）≥4\\ \frac{1}{2}（b+a）≤-1\end{array}\right.$，求出2a+b的范圍后，可得2a+b的最值．

解答 解：當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{4x}{x+1}$的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=$\frac{4}{（x+1）^{2}}$＞0恒成立，
故f（x）=$\frac{4x}{x+1}$為增函數(shù)，此時(shí)f（x）∈[0，4），
令f′（x）=$\frac{4}{（x+1）^{2}}$=1，則x=1，
故與函數(shù)f（x）=$\frac{4x}{x+1}$相切的斜率為1的直線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
則切線方程為：x-y+1=0，此時(shí)切線交x軸于（-1，0）點(diǎn)，
g（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|-|x-b|）∈[-$\frac{1}{2}$（b-a），$\frac{1}{2}$（b-a）]，
若?x₁≥0，?x₂≤x₁，使得g（x₂）=f（x₁），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}（b-a）≥4\\ \frac{1}{2}（b+a）≤-1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}b-a≥8\\ b+a≤-2\end{array}\right.$，
令2a+b=x（b-a）+y（b+a），則$\left\{\begin{array}{l}y-x=2\\ y+x=1\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}（b-a）≤-4\\ \frac{3}{2}（b+a）≤-3\end{array}\right.$得：2a+b≤-7，
即2a+b的最大值為：-7，
故答案為：-7

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是恒成立問(wèn)題，絕對(duì)值函數(shù)的圖象，反比例型函數(shù)的圖象，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．